Rappels de seconde

1. Vocabulaire des événements

Définitions

• Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans savoir à l'avance celui que l'on obtiendra.
• Une issue d'une expérience aléatoire est un résultat possible de cette expérience.
  
• L'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers. On le note souvent \(\Omega\) .
  
• Un événement est un sous ensemble de l'univers.
• Un événement élémentaire est un événement constitué d'une seule issue.
• Un événement impossible est un événement ne contenant aucune issue. On le note \(\varnothing\) .
• Un événement certain est un événement qui contient toutes les issues : c'est donc \(\Omega\) .

Soit \(A\) et \(B\) deux événements d'une même expérience aléatoire.

• L'intersection des événements \(A\) et \(B\) , notée \(A \cap B\) , est l'événement constitué des issues réalisant l'événement \(A\)  et l'événement \(B\) .
  
• La réunion des événements \(A\) et \(B\) , notée \(A \cup B\) , est l'événement constitué des issues réalisant l'un au moins des événements \(A\) et \(B\) , c'est-à-dire réalisant \(A\)  ou \(B\) .
  
• L'événement contraire de l'événement \(A\) , noté \(\overline{A}\) , est l'événement constitué des issues ne réalisant pas l'événement \(A\) .
  
• Dire que les événements \(A\)  et \(B\) sont incompatibles signifie qu'aucune issue ne les réalise simultanément, c'est-à-dire que \(A \cap B=\varnothing\) .
  

2. Loi de probabilité - Probabilité d'un événement

On considère une expérience aléatoire ayant un nombre fini d'issues notées \(e_1, e_2,..., e_n\) . On a donc \(\Omega=\{e_1;e_2;...;e_n\}\) .

Définitions

• On définit une loi de probabilité sur \(\Omega\) en associant, à chaque issue \(e_i\) un nombre \(p_i\) , compris entre 0 et 1, tel que \(p_1+ p_2+~...~+~p_n=1\) .
  
• La probabilité d'un événement \(A\) , notée \(P(A)\) , est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.

Propriétés

• \(P(\Omega)=1\) et \(P(\varnothing)=0\) .
• Pour tous événements  \(A\) et \(B\) , \(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\)  ; \(P(\overline{A})=1-P(A)\)  et \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\) .
  

3. Équiprobabilité

Définition

Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité de se réaliser, on dit que l'on est dans une situation d'équiprobabilité. 

Les expressions « dés équilibrés », « tirage au hasard », « jetons indiscernables au toucher »... indiquent que le modèle choisi est celui de l'équiprobabilité.

Propriétés

• En cas d'équiprobabilité sur un univers, si cet univers est composé de \(n\) issues, alors la probabilité de chaque issue est égale à \(\dfrac{1}{n}\) .
  
• En cas d'équiprobabilité sur un univers, la probabilité d'un événement \(A\) est donnée par  \(P(A)=\dfrac{\text{nombre d'issues qui réalisent A}}{\text{nombre total d'issues}}\) .